sexta-feira, 27 de junho de 2008

- Campo Magnético e a Força de Lorentz
- Força Magnética sobre uma corrente elétrica
- Trajetória de uma carga num campo magnético uniforme
- Lei de Ampère na forma integral
- Aplicações

1-Campo Magnético e a Força de Lorentz

Vimos em aulas anteriores que duas cargas em repouso interagem entre si produzindo uma força. Esta força de interação é dada pela lei de Coulomb:

(1)

Quando ambas as cargas se movem em nosso sistema de referência com velocidades v, como mostra a fig.1, observa-se experimentalmente que a força agindo em ambas cargas é reduzida de um fator que depende da velocidade das partículas. Veja a simulação na fig. 1.


Fig. 1 - Interação magnética entre cargas elétricas em movimento

A força resultante assume a seguinte forma;

(2)

onde c é a velocidade da luz. Esta componente dependente da velocidade é chamada de força magnética (Fm). Assim, a força resultante é composta de duas forças: uma eletrostática (Fe) e a outra magnética (Fm). Observe que Fm só existirá enquanto as partículas estiverem em movimento.

(3)

Por outro lado, sabemos que cargas em movimento induzem correntes elétricas. Isto leva-nos a concluir que as correntes elétricas também interagem entre si. Será que podemos definir, equivalentemente, uma força de interação entre correntes elétricas ? Responderemos esta questão nas próximas seções.
Nos parece então, ser bastante conveniente introduzir um novo campo, o qual será denominado de campo magnético e sombolizado pela letra B. Este campo é produzido, então, por cargas elétricas em movimento. No sistema de unidades internacionais (SI) a unidade de campo magnético é denominada tesla (T). Desta forma a segunda carga, na fig.1, interagirá com o campo produzido pela primeira e assim ela experimentará uma força a qual denominamos de força magnética Fm. No sentido de descrever a força Fm, devemos primeiramente definir o campo magnético por

(4)

Consequentemente, o campo B criado pela carga 1 em movimento, em um dado ponto do espaço, será igual a

(5)
Assim a força magnética sobre a partícula 2, devido campo magnético induzido por 1 é igual a

(6)

Substituindo a equação (5) em (6) voltamos a nossa definição de campo magnético como apresentada na equação (3).
Alternativamente, poderíamos também, introduzir o fator 1/c2 inteiramente na expressão do campo magnético, isto é;

(7)

Assim, a força magnética seria redefina por

(8)

cuja expressão na forma vetorial é dada por

(9)

A força magnética, denominada algumas vezes de força de Lorentz, é portanto um vetor perpendicular ao plano formado pelos vetores v e B.

Nesta simulação o campo magnético é uniforme e tem o sentido do observador para a tela. Lembramos também que módulo da força magnética sobre a partícula é dado por

F = q v B sen(q)


Fig.2 - Força de Lorentz



2-Força Magnética sobre uma corrente elétrica

Fig.3 - Interação entre correntes e campo magnético






Onde vd é a velocidade média de deslocamento dos elétrons, B o campo magnético. No limite em que temos que a equação anterior pode ser escrita na seguinte forma diferencial

dF = dq vd Bsen(q )= i dl Bsen(q )

e na forma vetorial


3-Trajetória de uma carga num campo magnético uniforme

Nesta seção discutiremos o funcionamento do ciclotron. O ciclotron é utilizado para acelerar ions (positivos ou negativos) até atingir velocidades próximas a velocidade c da luz.

Na simulação abaixo, podemos observar duas regiões distintas; uma contendo um campo elétrico (E) variável no tempo e outra contendo um campo magnético B constante e uniforme. O campo elétrico tem a função de acelerar a partícula e o campo magnético de fazer com o ion volte novamente à região contendo campo elétrico, onde a partícula será novamente acelerada, no sentido do seu movimento. Assim, toda a vez que o ion passar pela região de campo elétrico (E) a sua velocidade aumentará e consequentemente ela ganhará energia cinética. Para que isto ocorra é necessário ter uma sincronia entre o tempo gasto para o elétron percorrer um semi-círculo no interior do campo magnético (B) e a inversão do sentido do campo elétrico. A seguir discutiremos este processo.

Fig.4 - Ciclotron com uma aplicação da força de Lorentz
sendo a aceleração da partícula, m a sua massa e a sua velocidade.


Sabemos da mecânica que:

A velocidade angular (constante)
Força Centrípeta
Raio de Curvatura
A freqüência de ciclotron é dada por


No caso do ciclotron, o campo elétrico aplicado na partícula é gerado por uma diferença de potencial da forma V = Vo sen(w t). Isto garante que o elétron seja acelarado toda vez que mudar, no solenóide, do plano superiorpara o inferior
e vice-versa. Ele seráacelarado por uma força elétrica igual F = q E, onde E é o campo elétrico.

Estes resultados podem explicar também outros fenômenos tais como, penetração de raios cósmicos na atmosfera, o espectrômetro de massa, as lentes magnéticas e os espelhosmagnéticos.

4-Lei de Ampère na forma integral

Sabemos que o campo magético pode ser expresso em função da corrente elétrica por;

onde c é a velocidade da luz a qual pode ser expressa por

com mo = permeabilidade magnética e eo = permissividade elétrica. Assim podemos reescrever a equação do campo magnético da seguinte forma;

ou

Fig.5 - Correntes induzidas por campos magnéticos

Numa forma mais geral a equação anterior pode ser reescrita por;

ou ainda

como as cargas variáveis no tempo geram campos elétricos variáveis no tempo então podemos dizer, a partir desta relação, que deve existir uma conexão entre os campos elétricos e magnéticos.

5- Aplicações

a- Campo Magnético no interior e exterior de um condutor
cilíndrico percorrido por uma corrente uniforme


Fig.6 - Campos magnéticos induzidos por correntes elétricas



Usando a lei de Ampère temos que

sendo a corrente uniforme temos que a densidade de corrente pode ser expressa por;

o que implica em

Usando as equações acima podemos então, calcular o campo magnético no interior do condutor,

r <>

Para qualquer ponto fora da esfera o campo tem forma

r > R

Fig.7 - Variação do campo magnético em função da distância



b- Interação entre dois fios condutores percorridos por correntes elétricas.


Fig.8 - Interação entre fios percorridos por correntes elétricas.
B é campo magnético induzido pelas correntes elétricas ia e ib.


A força que um fio percorrido por ia exerce sobre o outro é dado por

mas o campo magnético criado por um dos fios é igual a;

substituindo esta equação na equação da força temos que,

a qual é função apenas das correntes que percorrem os dois fios.

c- Campo magnético no interior de um solenóide infinito


Fig.9 - Campo magnético no interior de um solenoide


A figura acima representa um solenóide composto por infinitas espiras percorridas por um corrente constante io. O campo magnético no interior do solenóide pode ser determinado usando a lei de Ampére;

Para resolver a integral da lei de Ampére devemos definir um caminho num circuito fechado. Em geral escolhe-seo caminho que venha facilitar a integração da equação acima. Neste caso escolhemos, por conveniência matemática, o circuito (abcd) representado, na figura acima,em cores vermelha.

Dessa forma a integral de caminho fechado pode ser decomposta a soma de quatro intervalos a-b, b-c, c-d e d-a,da seguinte forma;

Assumindo, por argumentos físicos, que o campo magnético fora do solenóide é nulo temos que a terceira integral deve ser nula, pois B=0 em todos os pontos.

As integrais nos caminhos (b-c) e (d-a), isto é a segunda e a quarta integral, devem ser iguais a zero pois B e dl são dois vetores perpendiculares, assim o produto escalar é nulo.

Assim temos que

Assumindo que a corrente total i = Nio = nhio e sendo n =N/h a densidade de espira temos que o campo magnético resultante será igual a;

B = mo n io

ou na forma vetorial